Iz skupine od 7 muškaraca i 6 žena treba biti izabrano pet osoba koje će činiti odbor tako da u odboru budu najmanje 3 muškarca. Na koliko se načina to može učiniti?

Ovdje već postoje dobri odgovori, ali želim dodati još jedan način da se sagleda problem koji će dovesti do potpuno istog rezultata. Svi dosadašnji odgovori izravno računaju na načine formiranja odbora s tri, četiri ili pet ljudi. Ovaj problem također možemo riješiti pomoću komplementarnog brojanja, što u osnovi znači da možemo izbrojati sve moguće načine za formiranje odbora (nazovimo to [matematika] N [/ matematika]) i sve moguće načine formiranja odbora s manje od tri muškarca (nazovimo ovo [matematika] M [/ matematika]). Naš konačni odgovor je tada [matematika] N - M [/ matematika].

Broj načina za formiranje odbora općenito:

[math] N = binom {13} {5} = 1287 [/ math]

Broj načina za formiranje odbora s 2 muškarca i 3 žene:

[math] {7 select 2} binom {6} {3} = 420 [/ math]

Broj načina za formiranje odbora s 1 muškarcem i 4 žene:

[math] {7 select 1} binom {6} {4} = 105 [/ math]

Broj načina za formiranje odbora s 0 muškarca i 5 žene:

[matematika] {6 izaberi 5} = 6 [/ matematika]

Broj načina za formiranje odbora s manje od 3 muškarca: [matematika] M = 420 + 105 + 6 = 531 [/ matematika]

Stoga postoji mnogo načina za formiranje odbora s najmanje tri čovjeka [matematika] N - M = 1297 - 531 = 756 [/ matematika], što je isti odgovor koji ćete dobiti ako na ovaj problem odgovorite bez besplatnog brojanja.

Sada u ovom problemu ne postoji nužno lakši način za to, ali za neka pitanja pristup problemu iz perspektive besplatnog brojanja je znatno lakši. Dobar primjer za to je ako ovaj problem umjesto toga postavi pitanje na koliko se načina može formirati ovaj odbor s barem jednim čovjekom u njemu. Mnogo je jednostavnije riješiti se komplementarne verzije ovog problema.

Posljednje ažuriranje 10/01/2021

Komentiraj